この場合、次のような言い方ができますよ。
ーI will try to speak more English with my kids.
「子供たちにもっと英語で話しかけてみるよ」
I will try to ... more. で「もっと〜してみるよ」と言えます。
ーI will make an effort to speak English more often in front of my kids.
「子供たちの前ではもっと英語を話すよう努力してみるよ」
I will make an effort to ... more. で「もっと〜する努力をしてみるよ」とも言えます。
ご参考まで！
I'll try to speak to the kids in English more often.
・try to...「〜しようとする、〜してみる」
何かを試みたり、努力したりする時に最もよく使われる表現です。「もっと〜してみる」と言いたい時は、文末に more や more often（より頻繁に）を付け加えるのが自然です。
・speak to / talk to「〜に話しかける」
どちらも使えますが、speak to の方が少し「語りかける」というニュアンスが強く、教育的な場面にも合います。
カナダ 
アメリカ合衆国 
