「私をあげる」を get to me とは言わないです。to get to someone は「人をイライラさせる」という意味です。
多分ドラマでは He gets me. のようなことを言ったのではないかと思います。これは「彼は私を手に入れる」＝「私をあげる」という意味です。
または次のような言い方もできます。
ーHe can have me.
これも He gets me. と似た言い方で、「彼は私を所有することができる」＝「私をあげる」というニュアンスです。
ーI'm going to give myself to him.
「彼に私を捧げる」＝「私をあげる」とも言えます。
ご参考まで！
「彼は私を手に入れる」
「あなたは私を自分のものにできる」
He gets to have me. や He gets me. と表現されることがあります。
・You can have me.
「私を好きにしていいよ（私をあげよう）」というストレートな言い方です。have を使うことで「所有する」というニュアンスが強まり、ドラマチックな響きになります。
・I'm the prize.
「私が賞品よ」という比喩的な表現です。
カナダ 
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