One of my pets doesn't trust anyone other than myself.
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
One of my pets doesn't trust anyone other than myself.
や
One of my pets doesn't feel comfortable around anyone other than myself.
とすると、『私のペットの1匹は私以外には[心を全く開きません。](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/4021/)』というニュアンスで伝えられます。
役に立ちそうな単語とフレーズ
feel comfortable 心地よく感じる、安心感を覚える
参考になれば幸いです。
He doesn't open up to anyone but me.
He only shows his true self to me.
「彼は私以外の誰にも心を開きません」
「彼は私だけに本当の姿を見せてくれます」
・Open up「心を開く」
誰かに対して自分の感情を見せたり、打ち解けたりする様子を指します。open up to anyone but me（私以外の誰にも心を開かない）という形で使うことができます。
・Anyone but me「私以外の誰でも」
日本 
アメリカ合衆国 
