これは、2つの文章に分けた方が自然です。
1) He doesn't even do any study or sports.
彼は勉強もスポーツもしない
He doesn't do anything. / He's not doing anything.
彼は何もしない。/ 彼は何もしていない。
とも言えます。
2) He's so lazy. He's always playing games.
彼は怠けている。いつもゲームばかりしている。
lazy は怠けている・怠け者です。so を加えると、he's lazy よりもっと怠けているようなニュアンスになります。
3) He lies around all day playing video games.
彼はいつもゲームばかりして怠けている。
lie around は、ぐうたらしている、という意味です。all day を加えると一日中ぐうたらしている、という意味になります。
テレビゲームは video games といいます。こういう時は、games だけでも伝わります。