彼は勉強もスポーツもしないでゲームばかりして怠けているって英語でなんて言うの？

勉強もしなければスポーツもしない、というのは現在の事実ですから、現在形を使います。
ゲームばかりしている、という部分ですが、ここはalways +進行形を使うことで表します。
ゲームは一般的にはvideo games という言い方をします。
今はもうビデオではなくＤＶＤやブルーレイの時代ですが、こういう語彙にはいまだに残っています。
レコードがなくなっても、record company（レコード会社）という言い方が音楽業界に残っているのと同じです。
lazy bumは怠け者という意味で、これも口語ではよく使います。

これは、２つの文章に分けた方が自然です。

1) He doesn't even do any study or sports.
彼は勉強もスポーツもしない

He doesn't do anything. / He's not doing anything.
彼は何もしない。/ 彼は何もしていない。
とも言えます。

2) He's so lazy. He's always playing games.
彼は怠けている。いつもゲームばかりしている。

lazy は怠けている・怠け者です。so を加えると、he's lazy よりもっと怠けているようなニュアンスになります。

3) He lies around all day playing video games.
彼はいつもゲームばかりして怠けている。

lie around は、ぐうたらしている、という意味です。all day を加えると一日中ぐうたらしている、という意味になります。
テレビゲームは video games といいます。こういう時は、games だけでも伝わります。