三人ずつ前から順番に詰めて座っていってくださいって英語でなんて言うの？

この場合、次のような言い方ができますよ。

ーSit in groups of three from the front to the back, and don't leave any seats empty in between.
「3人１組で前から後へと座り、間に席を空けないでください」＝3人ずつ前から順番に詰めて座ってください」
後半の don't leave any seats empty in between がなくても、sit in group of three と言うことで席を空けずに座るニュアンスになります。

ご参考まで！