毎日がパニックの連続って英語でなんて言うの？

　今回の回答では、パニックを直接的に表現したもの、結果的にパニックだと分かるように表現したものを回答としました。

★ 直訳
（1）「私は毎日パニックしている」
（2）「私は自分が処理できるよりももっと多くのことを毎日持っている」
（3）「私は毎日、次から次へと問題に直面している」

★ 解説
　ご質問の「〜の連続」は（3）には含みましたが基本的にはそれを直訳しないほうが自然な英語になると思いました。その代わりに「何度も〜している」のように繰り返し何かをしているような言い方にしています。

（1）I'm panicking every day.
　友達にメールで伝えるとのことでしたので、そのような感じの英語にしました。

　panic には「パニックになる、陥る」「うろたえる」という意味があります。
　注意事項としては panic を現在分詞や過去分詞にする際には k を補う必要があることです。
　panic panicking panicked

　なお、日常会話で「もうパニックなの！」のように言うときには、I'm panickng! と言うことがよくあります。

（2）I have far more things to do every day than I can handle.
　カジュアルともフォーマルとも取れるような英語にしてみました。
　この文は次のように分解すると分かりやすいと思います。少し簡単目に書いておきます。

　A. things to do every day 「毎日やること」
　B. I can handle 〜. 「私は〜を処理する、うまく対処することができる」

　ここで A に more をつけて more things to do every day「毎日もっとやること」とし、その比較対象が than「自分が処理できるより」となります。さらに far more とすることによって、more を強調して「〜よりずっと多くの」という表現になります。

　『自分で処理できるよりももっと多くのやるべきことが毎日ある」という意味にすることによって、「とても処理しきれないほど多くのことが毎日ある」というニュアンスを出し、結果的に「パニックに陥っている」というニュアンスを出しています。

（3）I am facing one problem after another every day.
　ニュアンスがフォーマルとなっていましたので、そのような感じの英語にしてみました。

　face は「〜に直面する」という意味です。簡単な英語にすると I'm facing problems every day. となりますが、「〜の連続」とありますので、one 〜 after another 「次から次の〜」としました。これ自体を直訳すると「1つの問題の後にもう1つの問題」となります。

　このように表現することで、「大変な状況である」というニュアンスを醸し出し、「毎日がパニックの連続」というニュアンスを出すことができます。しかし、もっと強調したいということであれば、big をつけて I am facing one big problem after another every day. ということもできます。
　「私は毎日、次から次へと大きな問題に直面している」という意味になり、パニック具合がより伝わるのではないかと思います。

　また冒頭で言っていた「〜の連続」ですが、それをそのまま使うと次のようになります。
　I have been facing a series of problems recently.「最近、問題の連続に直面し続けている」
　a series of 〜 で「〜の連続」となります。
　ここでは「問題の連続」にしばらく直面し続けている様子を言っています。
　

　以上です。お役に立ちましたでしょうか。

~の連続　という表現は　a series of~ と言えますので、
パニックの連続は a series of panic　　です。

例文1の直訳は 「私は最近、パニックの連続だ（を経験している）」で、
現在完了進行形を使うことによって、ここしばらくそういう状態が続いていて、もうしばらく続きそうだ　というニュアンスを含みます。

（なお、この場合、every day はつけることが出来ません。every day は、通常、現在形に使うことばですので、その代わりにlately （最近）をつけています。

それに対して、例文２は　「私は毎日パニックの連続です」と、現在の事実として書いてあり、恒常的にそう言う状態にあることを意味します。

おそらく、この場合は例文1の方が、合っていると思いますので、お勧めです。

ご参考になりましたら幸いです。