明日から抽選が始まるよって英語でなんて言うの？

抽選は「lottery」でも使えますが、一般的に「drawing」がよく使用されます。

例文
"Participants will have a chance to win concert tickets starting tomorrow."
「参加者は明日からコンサートチケットを当てるチャンスがある」

「（前売り）チケットの抽選」は、preorder lottery や ticket lottery、lottery for advanced tickets などと言えば伝わります。

【豆知識】
欧米の場合、チケット購入は first-come-first-serve（早い者勝ち）のことが多く、日本のような「抽選」は一般的ではありません。