on the bullet train returning from ~
新幹線は、bullet train または Shinkansen(最近はローマ字でも伝わります)
より具体的な場所を表す場合は、
returning from ~ ~からの帰り(戻り)
ex) on bullet train returning from Nagoya (名古屋からの帰りの新幹線で)
上記も使えると思います。
ご参考になれば幸いです。
on the shinkansen home
帰りの新幹線で
on the bullet train home
帰りの新幹線で
「新幹線」は英語でそのまま shinkansen と言うことができます。
伝わらない場合は bullet train という英語表現が便利です。
ご質問ありがとうございました!