〇〇のセリフを読みますって英語でなんて言うの？

まず、お書きになったFirst timeは、「まず初めに」という意味ではなく「〜するのが初めて、初回」という時に、"for the first time"という形で使われます。
I visited New York for the first time. (初めてニューヨークを訪れた。)

read ○○'s partとも言えます。

lineはここでは「(役者の)せりふ」という意味です。
"at the beginning"は「最初に、まず初めに」という意味で、文頭・文末どちらに付けても良いです。"first"にしても良いでしょう。

take onは「(仕事・責任などを)引き受ける」、roleは「役、役柄」で、「○○の役を引き受ける」→「○○の役を担当する」となります。
at firstは、firstとは少しニュアンスが違い、ここでは「最初は(〜するが、後で交替する)」ということを暗に意味しています。

- "I'll start by reading ○○'s lines."
直訳すると「私は○○のセリフを読み始めます」となりますが、ここでは「まず最初に○○のセリフから始めます」という意味合いです。

• "I will begin with ○○'s part."
  「私は○○の部分から始めます」となりますが、「最初に○○のセリフを読みます」という意味です。

表現："I'll start with..." や "I will begin with..." は、特定のアクションから開始する意思を伝えます。また、複数の選択肢またはステップが存在するタスクに対して、どの順序でそれらを行うかを示します。

さらに、他の関連表現：
- "I will tackle ○○'s part first."
- "I'll take care of ○○'s lines first."
これらの表現も同様の意味を持ち、特定の人のセリフを最初に読む意図を示すために使用できます。