確かにAnniversaryだと月ごとには違和感ですよね。
恐らく新語だとは思うのですが、女性の間ではこの「Monthsary」を使っているのを良く見ます。
(一説によるとフィリピンで出来た造語らしいですが、韓国などでは100日記念など日数単位で数える国とは違い、月ごとに記念日を見る文化の地域で生まれたことは間違い無さそうです。)
3ヶ月記念日であれば3rd monthsary, 半年なら6th monthsaryとなります。
もしこの得体の知れない造語を使うのに抵抗があるならば
We have been dating for 6 months.とか
We have been dating since September.などの基本に忠実な言い方でも良いと思います。
でもこれだと記念日♡な感覚が薄れてしまうのがネックですね。