もう自己紹介はあきあきだって英語でなんて言うの？

一つ目はMutsumiさんもご紹介のbe tired of～「～にうんざりしている」を用いた表現です。

"～"の部分に「～すること」という意味の動作を入れたい場合、動詞を～ing形にします。

I'm tired of introducing myselfで「自分を紹介することにうんざりしている」
over and over againは「何度も何度も繰り返し」の意味です。

二つ目の例文のように、be sick of～という言い方でも「うんざりしている・飽き飽きしている」の意味を表すことができます。

"～"の部分の使い方もbe tired of～と同じです。

なお、二つ目の例文では「自己紹介」をthe same thing「同じこと」に言い換えています。
自己紹介（の練習）をしたあとに、「まったく毎度毎度同じことばかりでうんざりだよ」のようなニュアンスで使えます。

I'm sick of doing the same thing「同じことすることに飽き飽きしている」
over and over again「何度も何度も繰り返し」

ご参考になれば幸いです。

自己紹介を延々繰り返して行うことに飽きてきました。
というのが直訳となります。

「〜に飽きる、うんざりする」は、be tired of ~ でも表現することができます。

「自己紹介」は self-introduction で表現できますので、英訳例は、「私は自己紹介（の練習）に飽き飽きしています」という意味になります。

他の例文としては、次のようなものが挙げられます。

I'm tired of studying math.
（数学を勉強するのはもううんざり）

お役に立てれば幸いです。