「突っ伏す」ということは顔を机に近づけた状態(またはくっついた状態)だと思うので、そこをキーポイントにして訳してみました。
I slept face down on my desk.
face down=顔を下に向けて
例文
I accidentally fell asleep facing down on my desk.
うっかり突っ伏して寝てしまいました。
accidentally =不注意で、うっかり
机でのうつ伏せ寝と全く逆の、上を向いて寝る状態はface up と言います。
I tend to sleep face up when I fall asleep on the train.
電車で寝てしまう時は上を向いて寝てしまう。
以上参考になれば幸いです。