get along with...は「...と上手くやっていく」という意味なので、
「すでに組織にとけこみ始めた。」は「組織の人と上手くやっている」ということで
He's already getting along with the people(colleagues) in the new department.
直訳すれば「すでにとけこみつつある」ですが、今の状態を言っているので現在進行形でいいでしょう。
It's only a week since he was transferred to a new department, but he is already settling in.
「溶け込む」は settle in （新しい環境に順応する・落ち着く）を使うと表現出来ます。
「彼が新しい部署に異動して、まだ1週間だか、すでに組織にとけこみ始めた。」
It's only a week since he was transferred to a new department, but he is already settling in.
もう少し硬い文章でしたら、後半は
~, but he has already started to settle in. としてもよいですね。
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