先生に課題を提出する時の「お願いします。」って英語でなんて言うの？

よろしくお願いします。
「これどうぞ」なニュアンスに近くなってしまうのですが、

Here is my paper.
「これが僕の課題です。」
Paperはテスト用紙、課題の提出物など
Assignmentと言っても構いませんね。

Go easy on me
「優しくしてね、手加減してね」
=採点甘くしてね
こちらは少しカジュアルな印象があります。

学校などで、提出する時には、thanks や　thank you と言っている生徒が多いです。
参考になれば幸いです。

こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：

Here's my paper.
ペーパーを提出します。

英語には「よろしくお願いします」のように便利なフレーズがないので、その都度伝えたい内容を考えると訳しやすいかもしれません。

ぜひ参考にしてください。