部屋の養生は省略しますので搬入の一部始終チェックしてって英語でなんて言うの？

We will not cover any of the walls or floors
壁や床にカバーをしない

so would you please stay and check
なので、残って（そこにいて）チェックしていただけますか

while we carry in the product?
製品を運び込む際に

productの部分を具体的な家具の名称にしてもよいかと思います
キャビネット　cabinet, closet, drawers等