あのライブはものすごく背中を押されたライブだったって英語でなんて言うの？

背中を押されるというニュアンスですと、"inspire"という単語が合っています。

音楽のライブですと、
The music live inspired me a lot. と表現できますね。

またご質問あればお願いします！

「背中を押される」＝「元気が出る」／「励まされる」：encouraging, inspiring

日本語では「ライブ」と表現しますが、それは和製英語だと思います。
日本で英語のliveを使うと何とか通じるかもしれませんが、海外なら形容詞として「録音されていない」にしか聞こえません。
ライブのサイズや音楽ジャンルにかかわらず、基本的に concert （コンサート）と表現します。
また、ちょっと小洒落た表現としては gig という言い方もあります。

「背中を押す」は動詞のinspireがいいと思います。
inspire「は～を動機付ける、～に刺激を与える」という意味です。
(be) inspiringとinspire (someone人)の使い方はこのようになります：
That concert was so inspiring!
That concert really inspired me!