Do you know why? で「なぜだかわかりますか？」が表現できます。
その後に I asked you the question 「私があなたにその質問をしました」という文章を繋ぎ合わせると英訳例のようになります。
基本的に Do you know + 5W1H の後には肯定文／否定文が来てクエスチョンマークを付けます。
例）
Do you know who she is going to meet tomorrow?
明日、彼女が誰に会うのか知ってる？
Do you know why he didn't come here today?
なぜ彼が今日ここに来なかったか知ってる？
などなど広がった表現が出来ます。
但し、Do you know who ate my pancake? など、who の直後には動詞の現在形（三人称）・過去形・未来形（will 動詞／is going to 動詞）・現在完了形（has＋過去分詞）・過去完了形（had＋過去分詞）などが来ます。
お役に立てば幸いです☆
まず、もう少しシンプルに言うとしたら
Do you know why I asked you this?
私がこう聞いたのは、なぜだか分かりますか？
だけでもOKです。
Do you know why I asked you this question?
私がこの質問をしたのは、なぜだか分かりますか？
また、『Do you know why?』だけですと
『なぜだか分かりますか？』と言う意味のフレーズにもなります。
日本 
