どっちが先にお互いの言葉を習得するか競争しようって英語でなんて言うの？

訳自体はシンプルですが、少し長いので部分に分けて訳しましょう。

「どっちが先に」
→"who can ~ first"
「お互いの言葉を習得するか」
→"learn each others' language"
「競走しよう」
→"let have a race on"

「競走しよう」の表現は日常会話において上述の例以外にも様々な場面で使いうる・使われうるので是非覚えて置きましょう。

上記の１番目は直訳。２番目はは大体同じ意味ですが、言い方が違います。
「I'll bet」はもともと「お金かけるよ」という意味ですが、よくある意味は「きっと」です。
「きっとあなたが私の言語を習うより私が先にあなたの言語を習えるよ！」