回答
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Staff reservation fee
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Selection fee
欧米では「指名料」という概念がないため、訳しにくいですが、staff reservation feeが一番良いと思います。リラクゼーション店はスタッフは誰でもいいという設定ですと指名料はかからないと思いますが、スタッフを指名すると事前にそのスタッフの時間を予約しているので、その場合 staff reservation feeが良いと思います。
Selection feeはどちらかで言えばその場で選ぶ時に使います。そのスタッフを事前に予約していないけれど、自分で選べる権利を求めているため、プラス料金がかかるというニュアンスです。
ご参考になれば幸い
回答
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Nomination fee
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Naming fee
「指名する」→「To nominate, to name」
「指名(名詞)」→「Nomination, naming」
「料」→「Fee, charge」