留学プログラムに申し込みました　って英語でなんて言うの？

I apply for ～: ～に申し込む
study abroad program: 留学プログラム

・I applied for an exchange student program.(交換留学生プログラムに申し込んだ)
・I applied for a business program.(ビジネスプログラムに申し込んだ)
・I applied for a college pathway program. (カレッジ進学コースに申し込んだ)

上記のようにプログラム名を色々変えて使ってみてください！

また、
・I submit an application form. (申込書を提出する。)
を使ってもOKです。

「夏にアメリカの夏季語学プログラムに申し込みました」
としました。「夏季語学プログラム：a summer language program」 と言えば夏だけの短期のプログラムだということが伝わります。伝えた後に、
I will be going with other people from Japan.
「日本から参加の他の人たちと共に行きます」
と言い足せばどのような留学のプログラムに参加されるのかだいたい伝わると思います。
留学楽しんできてください！

「申し込む」という英語は
to apply for 〜：「〜に申し込む」
to send an (my) application for という言い方でもいいと思います。
application は　apply という動詞の名詞形になります。

また「留学プログラム」は a study abroad program
留学は　study abroad と言います。