用事があるので遅れますって英語でなんて言うの？

"something" は「ちょっとしたこと」を表します。明言しないが無視できない何かについて述べる時などに使われます。
"something to do" は「しなければならないちょっとしたこと」→「用事」となります。

"be late" は「時間/定刻に遅れる、遅刻する」ということを表します。

"come up" は「(問題などが)持ち上がる、生じる」という表現です。"something comes up" で「用事ができる」となります。

「遅れて参加する」は「join late」も使えます。

「用事がある」は、
「have a thing to do」つまり「やるべきことがある」という表現や、
「have an errand to run」という表現もできます。

「errand」の基本的な意味は「お遣い」。
人に頼まれた用事だけでなく、自分自身がどこか寄らないといけない場所がある場合も含まれます。
「run an errand」で「お遣いに行く」と言う表現になります。

ご参考になれば嬉しいです^^