I believe は 「確か〜のはず」という感じで、I think 「〜と思う」よりも自信がなさそうで不確かなニュアンスになります。文頭にも文末にも置けますが、自信がないことを伝える場合は文末に付け加える形が多いように感じます。
As far as I know... は「私の知っている限りでは〜」
If I'm not mistaken は 「私が間違っていなければ〜」
この２つの表現も良く聞きますよ。
A far as I can remember, 「私が覚えている限りではね」
I'm not 100 percent sure, but... 「１００％の確信はないんだけどね」
もしくは
I may be wrong, but... 「間違ってるかもしれないけどね」と前置きして話してもいいと思います。
〜の限りという表現では、個人的には上記の２つをとてもよく使います。
To the best of my knowledge,：私の知っている範囲では、
こちらはすこし硬い印象ですが、例として挙げさせていただきます！
To the best of my belief （knowledge, memory), he is innocent.
私の信ずる（知っている, 記憶にある）かぎりでは、彼は無実です。
If my memory serves me correctly,
（私の記憶が正しければ、～）
昔、料理の鉄人というＴＶ番組での最初の台詞が確かこうでしたよね。
英語ではserveを使って表現できます。
もっとシンプルに↓のようにも言います。
If memory serves,
（記憶が正しければ）
Ai先生や後藤先生と同様にas far as もいいですよね。
As far as I know
(私の知る限り。。）
上の２つは「私の知る限り」と言うニュアンスです。
If I'm not mistakenは私が間違っていなければ、と言ったもう少し自信がなくて控えめに発言しています、と言った姿勢です。
To the best of my knowledge, Jimmy is still single. (私の知る限りではジミーはまだ独身だ。)
If I'm not mistaken, I believe Mr. Ddwards has left that line of work. (間違っていたら悪いんだけど、確かエドワードさんはその職業はやめたらしいよ。)
If I'm not mistakenの後はis/wasよりもI believeを使います。お分かりかもしれませんが、また少し自信がないので断言は仕切らないけど、と言う意味合いが込められます。
「私の覚えている限り、〜」の英語は「① To the best of my recollection.....」を私は使っています。「recollection」とは記憶の事で、覚えている限りになります。
誰かに物の状況の確認を取られた時に「① To the best of my recollection.」と一言返すこともできます。
また、「私の知る限り、〜」は「② As far as I know....」を使えます。
ジュリアン
まず、[as 形容詞 as 〜] で 「〜と同じくらい形容詞」の意味です。
次に [as 形容詞 as 主語+動詞] で、
「主語が動詞をするのと同じくらいの形容詞で」の意味になります。
例えば
As long as I live,
=直訳: 私が生きるのと同じくらいの長さで
=意味「私が生きる限りは」
As fast as I can,
=直訳: 私ができるのと同じくらいの速さで
=意味「私ができる限りの速さで」
今回のフレーズは
As far as I remember
=直訳 : 私が覚えているのと同じくらいの遠さで
=意味「私が覚えている限り」
となります。
日本 
アメリカ合衆国 
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