「布団をどうにかすること」って英語でなんて言うの？

これは質問じゃないですね。「布団はどうしよう？」だと「What should I do about a futon?」になります。「should」と「I」は逆です。 調べたら、「～をどうにかする」は「do with」になりますが、上記の状態では、もう持っている布団だはなく、どうやって布団を手に入るかということですね。だから、「with」より「about」の方がいいと思います。 （もう持っているものじゃないので、「my futon」じゃなくて「a futon」です。）

TO DOリストに書くならこの表現でいいと思います。 日本語の「どうにかする、何とかする」に該当する英語が do somethingです。 「～をどうにかるする、何とかする」と言いたい場合は do something with ... do something about ... となります。