これは特にお子さんに対しベッドで布団をかけてあげるなんですが
「寝付かせてあげる」という意味もあります。
またベッドのシーツを交換する際にシーツをベッドの下に入れて整える際にも使います。
さらにシャツ（洋服）をズボンに入れるときも使います。
例えば：
Okay. Time to go to bed. I'll tuck you in.
さー寝る時間だよ。寝かせてあげる。
ちょっと日本語だとおかしく聞こえますが。。。
最後に：
Night night
子供に言う「おやすみ」
シャツをズボンに入れる場合は：
Tuck your shirt in.
シャツをズボンに入れて
使ってみてくださいね。
いろんな動作に使える lay out があります。日本語でも「レイアウト」と言うように、設計にも使いますが、物（ここではお布団）に対して lay「寝かせる」に out がつくので「広げる」といった動作をイメージできるでしょう。lay out a map で「地図を広げる」という使い方もあります。
もし、bed でのことなら、make the bed でもOKです。これには布団を広げる動作を含むからです。
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