My skin started to peel really bad from my sunburn.
Sunburnは皮膚が真っ赤になる日焼けのことを指します。
皮が剥けるほどの日焼けというのはかなり焼けてしまった状態ですよね。なので英語で表現するとしたら
「すごく日焼けしちゃって」というやっちまった的な表現 (really bad)を入れると自然な英語になると思います。
I got a really bad sunburn from being out all day.
「昨日1日中外にいてすごい日焼けしちゃった」
I forgot to use sunscreen, and got a really bad sunburn.
「日焼け止めを塗るのを忘れちゃってひどく焼けちゃった」