「友達の航空券を手配してあげました。」は、I made arrangements for my friend's flight ticket. になります。
「手配」（arrangements)という単語を使っているので、「購入」や「予約」とはまた意味が違います。他のアンカーの方が説明しているように、「予約」は、book、「購入」は、purchaseという単語を使います。
少しでもお役に立てれば幸いです。
ありがとうございました。
航空券のチケットの手配ですが、まずは日本語をかみ砕いてみましょう。
「手配する＝予約する」と見なして
book 予約する
book the ticket チケットを予約する
友人に対して「航空券のチケットの手配が終わったよ」という言い方は
I finished booking your flight ticket.
finish の後には-ing になります。
お役に立てると幸いです。
arrange は「手配をする」という意味になります。
arrange a flight と言うと、ふさわしいフライトを選び航空券を予約する、というところまでを通常含んでいます。
なお、「航空券」を個別に表したい場合は、plane ticket、airline ticket、flight ticket と言うように複数の呼び方があります。
例: I purchased an airline ticket for my friend.
「友達に航空券を買ってあげた」
また、チェックインした後の「搭乗券」は boarding pass と表現します。
arrange a flight
航空券（フライト）を手配する
book a flight
航空券（フライト）を予約する
上記のように英語で表現することができます。
例：
I just finished booking a flight for my friend.
友達の航空券を予約し終えたところです。
flight は「フライト」「便」という意味で使うことができます。
お役に立てればうれしいです。
ご質問ありがとうございます。
book a flight
航空券を予約する
上記のように英語で表現することができます。
book は「予約する」というニュアンスの英語表現です。
例：
Have you booked your flight yet?
もう航空券は予約しましたか？
お役に立ちましたでしょうか？
英語学習頑張ってくださいね！
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