日本のアジアにおける勢力拡大に歯止めをかけるって英語でなんて言うの？

もちろん、to stop Japan's expansion in Asia でも間違いではないのですが、少し上級者向けの英語を目指すなら、

「止める（歯止めをかける）」
put a stop
put the brakes
curb
などの表現も押さえておくといいですよ。

expansion には「拡大、展開」の意味があります。

歯止めをかける = halt, stop, put the brakes on

「アジアにおける」の直訳は「in regard to Asia」になりますが、英語では簡単に「in Asia」の方が自然だと思います。

sphere はボールの形のものです。Sphere of influenceは、比喩的な球で、その中にあるもの・人をコントロールできるということです。