予約って英語でなんて言うの？

まず、bookとreservationは品詞が違います。

book「予約する」（動詞）
reservation「予約」（名詞）

reservationの動詞形はreserveです。
（または、make a reservationで「予約する」という意味の動詞のまとまりとして使うこともできます。）

細かいことですが、まずは品詞の確認でした。

bookとreserveの使い方の違いとしては、どちらも多くの場合は大差なく交換的に使うことができます。
アメリカでは一般にreserveが使われるということが言えると思いますが、旅行に関する予約などではbookも使われます。

予約の対象となるのは一般に部屋、座席、チケットなどですが、bookはもともと人の名前や注文などを書き付けておく名簿や帳簿（本の形をしたもの）に由来しており、「予約・事前手配」の意味が色濃く表れます。
また、帳簿に書き付けた以上は変更はないだろうといった解釈で、reserveよりも「確約」的要素が強く、予約を確定させるような含みもあります。
ですから、bookした時点で料金が発生するのが普通です。

reserveもほとんど同じなのですが、こちらには「取っておく・備えておく・蓄えておく」といった意味があり、「確保する・キープしておく」のようなニュアンスで、とりあえず取ってはおくけども、実際に利用するかどうかは分からないこともあり得ます。
ですから、reserveしたからと言ってキャンセルの可能性もあり、料金がすぐさま発生するとは限らないこともあります。

ただ、日常レベルでは上にも述べたようにbookもreserveほとんど区別されずに使われることも少なくありません。

ご参考になれば幸いです。

I'm looking to make a reservation.
「予約をしたいのですが」

I'm looking to book an appointment.（I'm looking to make an appointmentでもOK！）
「予約をしたいのですが」
※look to～:～しようとする

reservation は「予約」という意味の名詞、book は「予約する」という意味の動詞です。それぞれ reserve が「予約する」という意味の動詞と、booking が「予約」という意味の名詞になります。

どちらも比較的カジュアルな言い方で意味は同じになりますが、使う場所（電話であればかける場所）が異なります。

make a reservation→主にホテルや飛行機、レストランなど
book an appointment→主に病院（クリニック）や美容院など

ご参考になれば幸いです。

「予約」（名詞）は英語で「booking」や「reservation」、「appointment」と言います。「booking」と「reservation」は殆ど同じ意味になります。つまり、ホテル、レストランなどの予約をする際に使う単語です。「appointment」は病院の予約、廃医者の予約などの「サービスをもらう」際に使う単語です。

動詞の場合、「to book/make a booking」、「to reserve/make a reservation」などの表現を使います。特にイギリス人は「book/booking/make a booking」という表現をよく使います。

Did you book the hotel?
（ホテルを予約しましたか？）

I cancelled the restaurant reservation.
（私はレストランの予約をキャンセルしました。）

I’d like to make a reservation.
（予約をしたいんですが。）

Book と　reserve は動詞です。使い方の例は

Book a hotel（ホテルを予約する）

Reserve a flight（飛行機を予約する）

Reserve a table（席を予約する）

があります。

Reserveと bookはどちらでも使って大丈夫ですが、bookは少し砕けた言い方です。

Reservationは名詞です。使い方の例は

I have a reservation at 4:00（4時からの予約があります）

I made a hotel reservation（ホテルの予約をした）

があります。

ご参考になれば幸いです。

「予約」はreservation
「予約する」to reserve / to book ←この２つに違いはないです
いくつか例文を挙げておきます

A: Did you make our dinner reservation for tonight?
B: Yes. It is for 6:30.

A: 今晩のディナーの予約した？
B: うん。６：３０だよ。

You must make a reservation 6 months ahead of time if you want to eat in this restaurant.
このレストランは６ヶ月前から予約しないと食事ができない。

We booked our flight online.
飛行機はオンラインで予約した

「reservation」は「予約」という意味の名詞です。
「reserve」と「book」は「予約する」という意味の動詞です。

【例】

I'd like to book a room.
→部屋を予約したいんですけど。

The flight was fully booked.
→そのフライトは予約が一杯でした。

Do you have a reservation?
→ご予約はなさっていますか。

ご質問ありがとうございました。

予約はbookとreserveといいます。
予約するは
To book
To reserve
To make a reservation

レストランを予約スル
Book a restaurant
Reserve a restaurant

予約をしたんですけど
I would like to book
I would like to make a reservation

"to book~"とは動詞で、「（予約を）取る」という意味です。"reservation"は「予約」ですが、"to reserve"が「予約をする」という動詞です。

例文："Could you book a table for two for Wednesday evening?"「水曜日の夜で、二人分のテーブルの予約をしてくれる？」
"I reserved a plane ticket to go to Hawaii during this winter vacation." 「この冬休みの間にハワイに行く飛行機切符の予約をした。」

「予約」は英語で reservation / booking と言います。

「予約する」は英語で reserve / book と言えます。

例：
I would like to make a reservation, please.
予約をお願いしたいのですが。

I made a booking online, at booking.com.
booking.comで予約をしました。

みなさんのお役に立てれば嬉しいです！

「予約」は場合によって「book」と「reservation」で表現できます。
「book」は「予約する」という意味で、動詞として使います。
「reservation」は「予約」という意味だから名詞として使います。

例文：
「そのホテルを予約しました」
→「I booked that hotel」

「このホテルの予約があります」
→「I have a reservation at this hotel」

ご参考になれば幸いです。