I really want to eradicate cancer and relieve patients' suffering and grief.
ご質問の表現である”I would eliminate the people who mourn with cancers.”ですと、癌患者様自身を死なせてしまうように解釈されます。
ここは
①癌を撲滅することで
②それに苦しんだり悲しんだりする人を救いたい
と分けることをお勧めします。
①では病気の根絶として "eradicate"が一般的です。
eradicate polio / eradicate malaria のように使用されています。
②では、relieve が「心配を取り除く、安心させる」の意味で適切です。
質問者の方は医療に携わられているように思います。ですから、人を患者( patient)と表現しました。もちろん、peopleでも構いません。