My father died this year, so I'm writing my "mourning postcards".
アメリカやイギリスでは喪中はがきみたいなものはないので、「mourning postcards」を引用符に入りました。この文書の「my」の意味は、聴いている相手は喪中はがきを書いていることを期待していることです。つまり、聴いている相手が日本の習慣が知っている人です。そうじゃなければ、ただ「I'm writing mourning postcards」とか、「I'm writing postcards to let people know that I'm in mourning so they won't send me new year's cards」（年賀状を私に送らないように、みんなにこのはがきを書いています）という説明をするでしょう。
My father passed away this year, so I'm writing mourning cards.
おっしゃられている内容は、以下のように表現できると思いましたm(__)m
My father passed away this year, so I'm writing mourning cards.
「私の父は今年亡くなりました。なので、喪中ハガキを書いています」
mournは「死を悼む、追悼する」の意味の動詞で、
「喪中ハガキ」はmourning cardと訳すことができます。
以上です。
少しでも参考になれば幸いです(*^_^*)
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