have him/her transferred で「彼/彼女を転園させる」という意味になります。
ここで子ども(彼/彼女)は転園「させられる」(自分の意思ではなく受け身の)立場なので
have + 人 + 過去分詞(transferred)
と、目的語の「人」の動作を表す動詞は過去分詞になります。
なお、transfer は「移る」で「転園」という意味ではありませんが、子供の幼稚園の話をしている場面なので、to another kindergarten(別の幼稚園に)などと言う必要はありません。
また、両親としての考えを説明しているので、主語は We になります。