うつになって引きこもっていますって英語でなんて言うの？

この場合、病気としての鬱であれば、fall into depression,
気分が落ち込んでいる、という意味であれば、feel depressed、となります。depressionを使用するとうつ病と診断されている状態となります。

加筆です。

単純にI am depressedという言い方もあります。

ご参考になれば幸いです！

depressed= うつになって
引きこもっています＝この場合は「want to stay inside」がより適切だと思います。

最近、英語で「引きこもり」「hikikomori」は名詞として使われています。

Some 40 percent of hikikomori are below the age of 21。
４割の引きこもりの人は２１歳以下です。