I’d like to get used to the work so I can contribute more to the team
英語で “pull my own weight” という表現があります。この表現は日本語で訳すと、「自分の体重を引っ張る」です。人に迷惑かけずに自分のやらなくてはならない事を自分でやるという意味を持ちます。
「頑張る」は英語で訳すと “do my best” (全力を尽くす)。
“I will do my best to pull my own weight” = 人に迷惑かけずに頑張ります。
“I’d like to get used to the work so I can contribute more to the team” = 仕事に慣れて、チームに貢献したいです。
To get used to = 慣れる
Contribute to = 貢献する
I’m looking forward to working hard in my new position.
「まだまだ新参者ですが」と控えめではあっても、新しい仕事への期待感と決意をこめて、という感じですね。
ただ、あまり控えめな表現は言い訳のようで歓迎されないので、
I’m looking forward to 〜（〜を楽しみにしています）
とポジティブに始めましょう。そして、その内容は
working hard in my new position（新しい職場で一生懸命働くことを）
となります。
「早く仕事に慣れて」は new position に含まれますが、この後に in the team と続ければ「皆さんと」という気持ちも伝わると思います。
日本 
