In the polling place, we proceed clockwise and drop our ballots into the ballot box.
「投票所」= polling place
「投票用紙」= ballot
「時計回りに」= clockwise
となります。
ここでの「進む」は数カ所で記名するという行為を１つずつ進行する（proceed）と考えるといいでしょう。そこで、proceed clockwise となります。
「投票する」は drop a ballot into the ballot box（投票箱に投票用紙を入れる）
となり、ここまでをまとめると
proceed clockwise and drop our ballots into the ballot box
となり、これを見れば「記入後」は当然なので、あえて「記入後の」を英語にしなくてもいいと思います。
日本 
