レッカー移動って英語でなんて言うの？

上２つは直訳で
レッカー車が駐禁で僕の車持って行ってしまった。
下は
僕に車が駐禁でレッカー移動させられた。

レッカー車はtow truck, wrecker.
Tow は動詞で牽引する

"tow away" は「レッカー移動させる」という意味です。

"parking offense" は「駐車違反」です。"illegal parking" としても良いでしょう。

「この前、先日」は "the other day" の他に、"days ago" という表現もあります。