催促して（しないで）くださいって英語でなんて言うの？

「催促してください」は「忘れていたら思い出させてください」という場合なので

　remind me about 〜（名詞）
　remind me to 〜（動詞）
　remind me that 〜（文）

の形になります。
２つ目の動詞を続ける形の例は、

　Remind me to buy some cheese tonight.
　　今夜チーズを買う（のを忘れない）ように催促してください。

のようになります。

「催促しないでください」は文字どおり「催促されたくない」気持ちなので 動詞 urge や press がいいでしょう。

　Don't urge me to write to him immediately.
　　彼にすぐ手紙を書けなどと催促しないでください。

「催促してください」は”Please remind me”で大丈夫です。

「催促」を"remind"と表記します。「ください」は"please"になり、「催促してください」は”Please remind me”になります。

メールとかですと、"Please send me a reminder"ということもあります。

ご参考になれば幸いです。