育児中だから自由時間があんまりないって英語でなんて言うの？

「育児」は英語で
raising a child
Child-rearing
と訳すことができますが、普通の会話ではI have a babyと言うのが自然です。
（赤ちゃんがいれば目が離せない状況であることは誰でもわかるので！）

I don’t have time for myselfの代わりに
I don’t have time. と言っても通じますが、I don't have time for myself. というと〝自分の時間〟が無いというニュアンスが強くなります。

子育てしながらの英語の勉強頑張ってくださいね！

"I don't have much free time because I'm in the middle of child-rearing." 「育児中なので自由な時間があまりありません。」

この文では、"don't have much free time"は"自由な時間があまりない"という意味で、「much」は少ないときに使います。また、 "I'm in the middle of child-rearing"は「私は育児の真っ最中にいます」を指し、"child-rearing"は育児を指します。

すこし変えてみると：

"I'm pretty tied up with child-rearing so I don't have a lot of free time." 「育児にかなり時間を取られているので、自由時間があまりありません。」

こちらの文では、"tied up"は「縛られて」「忙しい」という意味で、常に忙しい状況を表します。