「運動部」ですから player ではなくて、member になります。
player は (何かをする) ニュアンスがあって、「運動部」は (何かに入る) ニュアンスですから、こういう文で member の方が自然の言い方になります。
例文 He's a regular member of the tennis club.
「彼はテニスクラブのレギュラーです。」
参考になれば幸いです。
運動部の経験者なので、英語で「レギュラー」のよく使われているのは「starter」と「starting player」です。スターティングメンバーのメンバーの事なので「starter」と言います。
サッカー部のレギュラーになりたいです。
I want to become a starter for my soccer team.
レギュラーメンバーは今怪我しているので今はチャンスです。
The starting players are injured, so now's your chance.
文法的に「レギュラーになる」は英訳すると「to become a regular」と言いますが、少しもっと単に言えば、「be 」も言えます。Be a regular player の player は状況によるとかわります。もしスポーツをしないなら、member と言った方がいいです。
I want to become a regular member of the club.
I want to become a regular player on the team.