「[病院](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/32103/)に行く」は英語では I'm going to the doctor は一番ふさわしいです。
I'm going to see a doctor は間違えではないですが、特別なときにいいます。「病院に行く」と言いたい時は少し不自然です。I'm going to see a doctor for (medical condition) と言います。「（かかっている[怪我](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/40517/)や病気や症状）のために医者と相談します。）I'm going to see a doctor for 〇〇 という時に「病院」より「医者」の事が重心です。
I'm going to see the doctor's も言えば大丈夫です。
他の言い方は I have a doctor's appointment. になります。
doctor's appointment は「医者の予約」「病院の予約」のような意味です。
例文
I have a doctor's appointment at 10:00 am tomorrow.
明日の朝10時に医者のアポイントがあります。
I'm taking a day off because I have a doctor's appointment.
病院に行くので、一日中仕事を休みます。
ご参考までに。
もうすでにお答えがありますので、ここではイギリスの[医療](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/51880/)について少しご紹介できればと思います。
イギリスには、NHS(National Health Service)という[医療機関](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/108158/)があります。
基本的に、イギリスに住んでいる人（働いている人）はこれを受ける権利があります。
NHSは基本的に無料です。働いている人はお給料から国民保険や社会保険のようにひかれているはずです。
私もこの国で妊娠、出産しましたが、すべて無料でした。（かゆみ止めなど余分なものにはイングランドではお金がかかったように思います。しかしウェールズはすべて無料！？でした、数年前までは。今はわかりません。。。）
エピ（無痛分娩）をしようと自然分娩をしようと自分で選択でき、どちらも無料です。
上記に紹介した、
I'm going to see a GP.
のGPとは？？
General Practitionerの略です。
基本的には、NHSを利用したい人は必ず自分の住んでいる町のGPに登録しなければいけません。そうしなければまず、医者に会うことすらできません。（緊急は別）
例えば、風邪をひいて、子供の高熱が続いているので医者に診てもらいたい時。
まず、GPに連絡を入れます。電話は受付の人が出て、用件を聞いてくれます。あまり大したことでないと思われると、４、６時間後に医者への面会予約が取れます。
子供やお年寄り、危険な状態だと判断されると、すぐ診てくれることもあります。
私の娘が高熱でうなされ、うどんを口から放出した時でさえ、４時間後くらいに医者に会えました。。。
ちなみに歯医者はなぜかNHSでもお金が発生します！
それ以外は日本のような眼科、耳鼻科、内科、外科などは存在せず、まずはGPへ行かなければいけません。そこから状態によっては、GPのドクターが大きな総合病院へレターを書いてくれ、、、、またさらに２、３か月待ち、別の医者に会える。と言うシステムです。
ご質問の内容は、、、
I'm going to see a doctor
で良いかと思われます。
イギリスではあまり病気にならないようにするのが得策です。
どうでしょうか。
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：
going to the doctor's
going to see a doctor
いずれも「お医者さんのところに行く」という意味の英語表現です。
また、ご質問の件ですが、どれも意味は通じると思います。
ぜひ参考にしてください。
アメリカ合衆国 
日本 
