「気にしないで」は英語で "Don't worry" と言えます。困っている場合、この表現をよく使われます。
そして、I'll do the reservation" は「私は予約します」という意味。でも、このシチュエーションは「あなたの代わりに」を伝えたいので "for you" という簡単に言えます。
Don't worry, I'll do the reservation for you 「気にしないでね、あなたの代わりに予約するよ」
また機会があれば、この英文も言ってみてください。
「予約をする」は to book と言います。
「気にしないで」というニュアンスを出したい場合には
I am happy to book it for you.などもいいかもしれません。
また、メールなどを代わりに送る場合には
I am writing this email on behalf of というフレーズが使用できます。