私も部屋を片付けなきゃって英語でなんて言うの？

clean the room で部屋を掃除する、という意味です。
散らかっている、は messy　と言って、mess　がばらばらした、散らかったものを指します。
ですので、My room is messy.で、私の部屋は散らかっています。となります。

私も自分の部屋を掃除しなくてはいけない、は
I have to clean my room, too.　です。
私も自分の部屋を掃除したい、は
I want to clean my room, too. 　です。

部屋を掃除することは「Clean my room」と言います。

「私も」は「I also」。

したがって、「I also have to clean my room!」を提案しました。