洗剤が切れてたので買っておきました。って英語でなんて言うの？

食器用洗剤は英語で dish soap または dish detergentと言います。

物が無くなったことを表すときは be out of ~と言います。

I'm out of time.
時間が足りない

I'm out of toilet paper.
トイレットペーパーが切れた。

合わせて覚えておくと便利なのが、「無くなりそう」という表現です。
running short of ~
running out of ~
どちらも「～が無くなりそう」と言う意味です。

You're running short of sugar. I think you should get a new bag if you're baking cookies tomorrow.
砂糖が無くなりそうだよ。明日クッキーを焼くなら一袋新しく買ったほうがいいよ。

参考になれば幸いです。

洗剤が「切れる」ことは英語で "gone" または "run out" と言います。"Gone" は「無くなる」と言う意味なので、"Run out" の方が「切れる」と言う意味に近いです。「洗剤を買った」と表現するならば "I bought the dish soap" と文章を始めるといいでしょう。

例文：
「洗剤が切れたので買っておいた。」
I bought the dish soap because it was gone.
I bought the dish soap because it run out.

ご参考になれば幸いです。