こども園って英語でなんて言うの？

childcare centerで伝わりますが、海外といっても場所によってさまざまなので場合によっては説明を加えたほうがよいかもしれません。

カリフォルニアの場合、保育園のような機関を指したnurseryという表現はほとんど聞きません。kindergartenは幼稚園と訳されますが、小学校に併設された1年間のプログラムであることが一般的です。kindergartenに行く年齢に満たない子どもが通う場所はpreschoolやdaycareと呼ばれています。daycareは託児所のようなイメージで、preschoolは特定のプログラムに沿った幼児教育が行われる場所を指して使われます。preschoolと呼ばれる場所でも夕方まで延長保育のような形で預かってもらえる場合、そのプログラムはdaycareと呼ばれたりします。

Nurseryとは保育園ですね。赤ん坊幼稚園に入る前の子供の面倒を見るところですね。
Day careとは預かりって感じですかね
働いてる親の代わりに子供たちの面倒を見るところですね。
幼稚園はKindergartenと訳します。
あるところはKindergartenの前Preschoolあります。
Preschoolは幼稚園を学ぶ前に行きます。大体幼稚園の2年前（子供が3歳か4歳の時）ぐらいですね。