I was beginning to be able to は合ってますよ!ですが少しくどくどしいとおもいます。ネイティブは単に “I was beginning to”, “I was starting to” と言います。
この場合、 “I was starting to understand what he was saying” (彼の言っていることを聞き取れるようになってた)
また、 “understand” と同じく、 “catch” も言えます。
Ex: “I was starting to catch what he was saying”