脳トレは包括的に「Training the mind」と言います。
例えば。。。
Sudoku, reading, problem-solving, all are activities which train the mind.
"Staying sharp"は、老後ボケないように脳を活性化することです。
例えば、「My grandad is staying sharp by answering questions on DMM NanteuKnow」
でも、正直なところ、あまり「脳トレ」は西洋ではしないですね。あまりカッコいい印象はないからでしょうか。あるいは、疑似科学との関連が強いからでしょうか。日本だと、若い人まで何らかの脳トレ（イングリッシュマインドや英語漬けなど）をやっていますが。
その「脳トレ」が英語で「brain training」と言います。
以下は例文です。
これは脳トレのデバイス。ぜひ使ってください。 ー This is a brain training device. Please give it a go.
我々が新しい脳トレソフトウェアを発明しました ー We have invented a new brain training software
参考になれば嬉しいです。
イギリス 
オーストラリア 
