一次抽選では落選したが二次抽選でなんとか当選しましたって英語でなんて言うの？

「…なんとか…」
"...I managed..."

後者は少し省略しました。抽選 を二回も言うより one とまとめるのを
おすすめします。
この場合二個目の 抽選　lottery round を oneに変更します。

「一次抽選では負けたが二次（の方）でなんとか勝ちました」
"I lost the first lottery round but I managed to win the second one"

I was lucky enough to get the concert ticket on the second lottery round.
I won the concert ticket on the second chance.

どちらの回答からも、一次抽選では落選した　という表現は省略しています。
二次抽選で当選したということは、１次抽選ではダメだったということを暗示していると考え表現には含みませんでした。

文中にはコンサートチケットという単語を明示する方が理解しやすいのではないかと思いました。
win the concert ticket という表現も使用できます。

I hope this will help you.
お役に立てれば光栄です。