いい質問ですね。
辞書を調べるといろいろあるけど、saving moneyが日常的によく使われます。
I’ve been going to the library recently so I can save money.
「最近よく図書館に行ってるので節約になる」
Instead of eating out, I’ve been eating at home to save money.
「外食する代わりに節約のため自炊してます。」
Frugal 「倹約」ってわかるけど日常的に言わないよね
budget は予算のことです。
I’m on a budget.
直訳すると、「予算があります」ですが 「今節約中です」という意味でも言います。
There are many books on budgeting.
(予算内で生活するための本/節約の本ってたくさんあるよね)。
とも言えますよ。参考に！
アメリカ合衆国 
