英語を極めるって英語でなんて言うの？

「英語を極める」は I’m gonna master English! でいいですね。

Are you gonna master reading English? Or are you gonna master speaking English?
「極めるというのは、readingそれともspeaking?」

I know way too many people who study 10 years and can’t SPEAK. I’m gonna master speaking English. So first, I’m gonna master listening!
「英語を１０年勉強してるけど全然英語を話せないって言う人ごまんと知ってる。自分は英語を極めるぞ。まずはリスニングを極める。」
頑張ってね

I want to master English.
→私は英語を習得したい。

「master」ですが、日本語の「習得する」に近いと思います。
ジーニアス英和大辞典によると「より偉い人」が原義です。名詞としては「（動物の）飼い主」などの意味もあります。
英語の支配者となって自在に操る、と考えると分かりやすいですかね。

回答は一例ですので、参考程度でお願いします。

ありがとうございました