Leave it as it is = そのままにする。
例えば作品など、完成していないのにそのままにする、というシチュエーションでも使えます。
Letting the cat recover by itself = 猫は自分で風邪が治るようにする。
The neighbor isn’t doing anything in particular for the cat. They are letting the cat recover naturally/by itself” = 近所の人は特に何もせず、自ら風邪を治させている。