確かに「ホワイトニング」は"whitening"ですが、文章にする時は、”whitened"で「白くする」という意味になるので、
I want to get my teeth whitened.
と言います。
同様に、「綺麗にしたい」という時は、"whitened" を"cleaned"に変えればokです。
➡︎I want to get my teeth cleaned.
「歯のホワイトニング」のことを"Teeth Whitening"と言います。
なので、「ホワイトニングをしたい」と言いたい時は、
・I want to get teeth whitened
・I want to get my teeth whitened
「ホワイトニングをしてくれるおすすめの歯科」について聞きたい時は、
・Do you know any good dentists that offer teeth whitening?
「ホワイトニングのおすすめの商品」について聞きたい時は、
・Do you have recommendations on teeth whitening products?
"Teeth cleaned"や"Dental cleansing"だと、歯石の除去など他の処置も含むので、
はっきりと"whitening"という単語を使ったほうが明確に伝わるかと思います。
質問者さんが言うように名詞としては「(Teeth) whitening」で正解です。
I want to whiten my teeth＝歯を白くしたい
White（白）を動詞にしてwhiten（＝白くする）と言います。他の色はあまり動詞にする事はないので気をつけましょう。強いて言うのであればblackとredは動詞として使う事はあります。
I need to go to the dentist to whiten my teeth＝歯医者さんに行って歯のホワイトニングをしなきゃ
アメリカだと家で地道に頑張って白くするスタイルよりクリニックでやってもらう方が多いと思うのでこう言う表現も出来ます。こっちの方が俄然効果ありますからね。
日本 
アメリカ合衆国 
